数学必修4的课程内容

数学必修4的课程内容

　《普通高中课程标准实验教科书·数学4》简介

　　数学4（必修）的内容包括三角函数、平面向量、三角恒等变换。

　　三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理中都有广泛的应用。三角恒等变换在数学中有一定的应用。

　　全书共需36课时，具体分配如下：

　　第一章 三角函数 16课时

　　第二章 平面向量 12课时

　　第三章 三角恒等变换 8课时

一、本模块的地位作用

　　通过本模块的学习，学生将在如下一些方面得到提高。

　　1．加深对数学与实践关系的认识。

　　三角函数、向量都是刻画现实世界某些现象的重要数学模型。周期变化现象在现实中大量存在，如音乐的旋律、波浪、昼夜的交替、潮汐、钟摆的运动、交流电等，这些现象都可以用三角函数来描述。实际上，三角函数的产生、发展与解决具有周期性变化规律的问题的需要密切相关。力、速度、位移等也是实际生活中所常见的，它们是向量的实际背景，也是向量描述的对象。因此，三角函数、向量的学习能使学生加深认识数学与实践的紧密联系，通过用三角函数、向量解决实际问题的实践体会数学的作用和价值，学习用数学的观点看待和处理日常生活以及其他学科的问题的方法。

　　2．认识数学内容的联系性，学习数学研究的方法。

　　三角函数与数学1中的函数概念有着特殊与一般的关系，三角函数的研究以一般函数概念及其研究方法为指导，同时三角函数的学习可以加深对函数概念的理解。三角函数及其性质与圆及其性质有着直接的联系，三角函数的研究很好地体现了数形结合思想。在三角函数的研究中，借助单位圆进行几何直观是非常重要的手段，而且这也是使学生学会数形结合地思考和解决问题的好机会。

　　向量既是代数的对象，又是几何的对象，它是沟通代数、几何及三角函数的桥梁。向量是处理数学及现实问题的有效工具。在本模块中，在向量之后安排三角恒等变换，让学生经历用向量工具推导两角差的余弦公式的过程，其目的就是为了让学生体会向量的这种作用，并进而使学生体会向量与三角函数的联系、数与形的联系等。

　　总之，通过本模块的学习，学生可以从三角函数及其性质与圆及其性质的联系、向量与代数、几何以及三角函数的联系、和（差）公式及倍角公式之间的联系等，体会不同数学知识在内容与方法上的联系性，学习数学中发现问题、提出问题和解决问题的基本方法。

　　3．发展运算能力和推理能力。

　　作为代数对象，向量可以进行运算。学生已经熟悉数与式的运算，这里又将运算发展到向量运算，这是运算的一次飞跃。事实上，向量运算的思想和方法具有很强的迁移能力，例如矩阵运算就是向量运算的推广。

　　与代数恒等变换一样，三角恒等变换也是“只变其形不变其质”的，变换的目的在于揭示那些形式不同但实质相同的三角函数式的内在联系，通过简化三角函数式的表现形式而认识其本质。在三角恒等变换中，学生可以通过探求和（差）角公式、倍角公式，以及运用这些公式推导和差化积、积化和差、半角公式等的实践，学习怎样预测变换目标，选择变换，设计变换途径等。

　　由上所述可知，通过本模块的学习，学生可以体会数学运算的意义，学习运算、推理的基本思想，他们的运算能力和推理能力将得到提高。

二、编写中考虑的几个问题

　　三角函数与三角恒等变换是高中数学课程的传统内容，平面向量是1996年进入高中数学课程的内容，因此，本模块的内容属于“传统内容”。与以往的教科书相比较，本书在内容、要求以及处理方法上都有新的变化。

　　1．以基本概念为主干内容贯穿本书，削枝强干，建立合理的教材体系。

　　“标准”设定的本模块课程学习目标是：

　　（1）通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用；

　　（2）了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力；

　　（3）运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。

　　根据上述学习目标，我们在编写教科书过程中，特别注意突出主干内容，强调模型思想、数形结合思想。

　　“三角函数”一章，突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。即通过现实世界的周期现象，在学生感受引入三角函数必要性的基础上，引出三 ……此处隐藏2168个字……tyle="white-space: normal;">　　又如，在向量的运算及运算律的内容中，提出了“数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？”“数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算。类似的，向量的加法是否也有运算律呢？”“我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数。向量的减法是否也有类似的法则？”……来引导学生学习。

　　5．使用信息技术的考虑。

　　本模块中，比较适合用信息技术的内容是三角函数及其性质的研究。“标准”中明确提出了“借助计算器或计算机画出 的图象，观察参数A，对函数图象变化的影响”的要求，在“说明与建议”中提出“应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题。例如，求三角函数值，求解测量问题，分析中参数变化对函数的影响等”。根据“标准”的要求和建议，本模块对使用信息技术问题作了如下处理：

　　（1）用计算器进行角度制与弧度制的互换；

　　（2）用计算器求三角函数的值；

　　（3）用计算器的sin－1、cos－1、tan－1键求角；

　　（4）讨论的图象时，在边空中提示，“可以用‘五点法’作图，有条件的也可以用计算器或计算机作图。在计算机的帮助下，A，对函数的图象变化的影响能直观地得到反映”；

　　（5）在用三角函数模型解决问题的过程中，提倡使用计算机进行函数拟合等。

　　相应的，在角的两种度量制的互换、求三角函数值、做函数图象等方面都降低了要求，这样做可以为学生借助信息技术探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动提供时间和空间。因为有了信息技术，教科书中引进了一些计算量大、需要根据数据选择和修正函数模型才能解决的问题。

三、使用本书的几个建议

　　1．充分利用三角函数、向量与学生已有经验的联系创设问题情景。

　　三角函数是描述周期现象的重要数学模型，向量也有丰富的物理与几何背景。

　　在学生的已有经验中，像日出日落，月圆月缺，春夏秋冬，24节气，时针旋转……都是日常经验，对于这些周期变化现象及出现的原因，学生在地理课中都接触过、学习过；单摆，圆周运动，弹簧振子……是学生在物理中学习过的，这些都是认识周期现象的变化规律，体会三角函数模型的意义的很好载体，教学中可以充分利用它们来创设三角函数的学习情境。

　　在学生的生活经验和已有知识中，力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型，向量的运算的物理背景有力的合成、力的分解、运动做功等。教学中可利用这些背景创设情境，引导学生认识向量是物理、数学中的有力工具。

　　2．充分利用相关知识的联系性，引导学生用类比的方法进行学习，加强教学的“思想性”。

　　三角函数与《数学1》的函数概念是一般与特殊的关系，教学中应当注意发挥学生头脑中函数概念及在指数函数、对数函数的学习中建立的经验的指导作用。通过联系和类比，使学生明确三角函数与已有函数概念的共通性，同时认识三角函数的特殊性——描述周期现象的最有力的数学模型，从而明确需要研究的问题及其研究方法。

　　与学生熟悉的数量一样，向量也是一个量，不过这个量有些特别，它既有大小又有方向。因为有大小，所以向量可以运算；因为有方向，所以向量可以用来刻画点、直线、平面等几何元素，也是研究几何问题的有力工具——几何中的向量法。因此，向量及其方法有非常强有力的类比对象——数量、解析法。教学中应当通过与数及其运算律的类比，让学生明确平面向量中研究的基本问题及其研究方法，为向量的学习提供一个有力的知识、方法的认知固着点。

　　3．充分发挥几何直观的作用，注重数形结合思想方法的运用。

　　在三角函数的教学中，要充分发挥单位圆的作用，并且要注意逐渐使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯，引导学生自主地用单位圆探索三角函数的有关性质，提高分析和解决问题的能力。向量的教学中，应当充分关注到向量既是代数的对象，又是几何的对象的特点，利用向量的物理背景与几何背景，加强几何直观，引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习向量知识。

　　4．把握教学要求，不搞复杂的、技巧性强的三角变换训练。

　　弧度是学生比较难接受的概念，教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位（圆周的1/2π所对的圆心角或周角的1/2π），随着后续课程的学习，他们将会逐步理解这一概念，在此不必深究。

　　在三角恒等变换的教学中，两角差的余弦公式的推导思路的获得是一个难点。为此，“标准”明确提出利用向量的数量积推导两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，教学中应当把握这种要求，不要因为用其他方法推导两角差的余弦公式有较好的思维教育价值而作过多扩展（对于学有余力的学生，可以作为课外学习素材）。另外，教学中应鼓励学生通过独立探索和讨论交流，推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作为三角恒等变换的基本训练，不要进行复杂的、技巧性强的三角恒等变换训练。

　　另外，在三角函数中被删减的内容（如任意角的余切、正割、余割，三角函数的奇偶性，已知三角函数求角，反三角函数符号等）以及降低要求的内容（如任意角概念，弧度制概念，同角三角函数的基本关系式，诱导公式等）都不要随意补充或提高要求。