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数学必修1:函数的应用举例

时间:2024-05-22 16:16:25
数学必修1:函数的应用举例

数学必修1:函数的应用举例

【要点导学】

1、数学模型

数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的形式是多样的,它们可以是几何图形,也可以是方程式,函数解析式等等.

2、数学模型方法

数学模型方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.

3、求解 实际问题的基本步骤

以函数为数学模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面,主要研究它的定义域、值域、单调性、最值等问题.使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下:

⑴审题:通过阅读,理解关键词的意义,明确变量和常量,理顺数量关系,弄清题意,明白问题讲的是什么.

⑵建模:将文字语言转换成数学语言,用数学式子表达数量关系,利用数学知识建立相应的数学模型.

⑶求模:求解数学模 型,得到数学结论.

⑷还原:将用数学方法得到的结论,回归实际,还原为实际问题的意义.

4、本节课的函数应用是指利用函数知识求解实际问题.

【范例精析】

例1 要使火车安全行驶,按规定,铁道转弯处的圆弧半径

不允许小于600 .如果某段铁路两端相距156 ,弧所对的圆心

角小于180,试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围(精确到1).

思路剖析 先以弓形的高 为自变量,半径R为函数,建

立R关于 的函数关系式,然后再利用圆弧半径不小于600 得

到关于 的不等式,求出 的范围.

解题示范 如图,设圆弧的半径OA=OB=R ,

圆弧弓形的高CD= ,0<<R.

在RtΔBOD中,DB=78,OD=R- ,

则 ,∴ ,

依题意R≥600,即 ≥600,

∴ ≥0,

解得 ≤5.1或 ≥1194.9,

又<R,∴ < ,∴ ≥1194.9应舍去.

答:圆弧弓形的高的允许值范围是 (单位:米).

回顾反思 如何依题意寻找关于 的不等式,是求解本题的关键,这里要抓住两方面:一是圆弧半径不小于600 ,二是<R.其中“ <R”是几何图形的性质所需要的,在解题时要善于挖掘题设条件中的隐含条件.

例2大气中的温度随着高度的上升而降低,根据实测的结果上升到12 为止温度的降低大体上与升高的距离成正比,在12 以上温度一定,保持在-55C.

(1)当地球表面大气的温度是 C时,在 的上空为 C,求 、 、 间的函数关系式;

(2)问当地表的温度是29C时,3 上空的温度是多少?

思路剖析 用待定系数法确定温度随高度变化的函数关系.

解题示范 (1)由题设知,可设 - = ,即 = + .

依题意,当 =12时, =-55,

∴-55= +12 ,解得 =- ,

∴当 时, .

又当 时, .

∴所求的函数关系式为

(2)当 =29, =3时,

=29- (55+29)=8,

即3 上空的温度为8C.

答:所求的关系式为 ,在3 上空的'温度是8C.

回顾反思 1、在求解本题时,要抓住“上升到12 为止温度的降低大体上与升高的距离成正比”这句关键性的话,它表达了两层意思:一是温度的降低与升高的距离成正比;二是“温度的降低与升高的距离成正比”的前提是“上升到12 为止”,故函数的定义域为 .

2、数学模型中的自变量的取值范围,一方面要使数学关系式有意义,另一方面还必须满足实际问题的意义.

例3 1980年我国人 均收入255美元,若到2000年人民生活达到小康水平,即人均收入为817美元,则年平均增长率是多少?若不低于此增长率递增,则到2010年人均收入至少多少美元?

思路剖析 按平均增长率可求得逐年的人均收入,通过解方程可计算平均增长率.

解题示范 设年平均增长率为 ,则

1981年人均收入为25 5 ,

1982年人均收入为255 ,

……

2000年人均收入为 255 ,

依题意,得255 =817,

∴ = ,

用计算器算得 =0.06=6%.

设2010年人均收入为 美元,则 =255(1+6%)30,

用计算器算得 =1464(美元).

答:年平均增长率为6%,到2010年人均收入至少为1464美元.

回顾反思 在实际问题中,常常遇到有关平均增长率(如复利、人口增长率、产值增长率等)的问题,求解与平均增长率有关的实际应用问题时,常要用到公式 ,其中N表示原来产值的基础数, 为平均增长率, 表示对应于时间 的产值,此公式称作复利公式,要掌握它的推导过程和实际应用.当 表示增长率时, >0;当表示折旧率时,<0.

例4 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为估计以后每月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量 与月份 的关系,模拟函数可选用二次函数或 ( , , 为常数),已知四月份该产品的产量为1.37万件,请问:用以上哪个函数作为模拟函数较好?请说明理由.

思路剖析 先利用待定系数法求出两个函数的解析式,再进行比较.

解题示范 设二次函数为 .

由已知得 ,

∴ .

对于函数 ,

由已知得 ,

∴ .

当 =4时, ;

.

∴ , ,

∴ ,

∴选用函数 作模拟函数较好.

回顾反思 本题中,要弄清选择哪个函数作为模拟函数“较好”的依据是什么?看 分别与四月份该产品的实际产量1.37万件的误差哪个小.

例5 已知某商品的价格每上涨 %,销售的数量就减少 %,其中 为正常数.

(1)当 时,该商品的价格上涨多少时,就能使销售的总金额最大?

(2)若适当地涨价,能使销售总金额增加,求 的取值范围.

思路剖析 销售总金额=商品定价 销售数量.

解题示范 (1)设商品原定价为 ,卖出的数量为 ,则当价格上涨 %时,

商品的定价为 ,销售数量为 ,

∴销售总金额为 ,

即 .

当 时,

∴当 =50时, .

即该商品的价格上涨50%时,销售总金额最大.

(2)∵二次函数 在 上递增,在 上递减,

∴要使适当地涨价,能使销售总金额增加,即当 >0时, 为增函数,则 须且只需满足

解得0<<1.

回顾反思 在求解第二问时要注意两点:一是要理解“适当地涨价,能使销售总金额增加”在数学中的含义是什么?它表示当 >0时, 为增函数,由此得到二次函数顶点的横坐标需满足的条件;二是不要把“销售总金额增加”错误地理解为“销售总金额比原来增加”,以致产生下面的错误解法:

令 ,得 ,∴ ,

∴ ,∴ .

尽管答案一致,但纯属偶然.

【能力训练】

一、选择题

1、我国工农业总产值从1980年到2000年的20年间实现了翻两番的目 标,若平均每年的增长率为 ,则()

A、 =4B、 =2C、 =3D、 =4

2、由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低.若每隔5年计算机的价格降低 ,现在价格为8100元的计算机经过15年,其价格可降为()

A、300元B、900元C、2400元D、3600元

3、某企业生产总值的月平均增长率为P,则年平均增长率为()

A、PB、P12C、(1+P)12D、(1+P)12-1

4、某商品零售价2002年比2001年上涨25%,欲控制2003年比2001年只上涨10%,则2003年应比2002年降价()

A、15%B、12%C、10%D、5%

5、一名退休职工每年获得一份医疗保障金,金额与他工作的年数的平方根成正比,如果多工作 年,他的保障金会比原有的多 元;如果多工作 年,他的保障金会比原来的多 元,那么他每年的保障金(用 表示)是()

A、 B、 C、 D、

二、填空题

6、有一块长为20厘米,宽为12厘米的矩形铁皮,将其四个角各截去一个边长为 的小正方形,然后折成一个无盖的盒子.则盒子的容积V与 的函数关系式是.

7、以半径为R的半圆上任意一点P为顶点,直径AB为底边的ΔPAB的面积S与高PD= 之间的函数关系式是

8、储油30 3的油桶,每分钟流出 3的油,则桶内剩余油量Q( 3)以流出时间为自变量的函数的定义域为

9、A、B两地相距160 (A地在B地的正北方向),甲从A地以80 /s的速度向B行驶,乙从B地向正东方向以60 /s的 速度行驶.若甲、乙同时出发,则它们之间的最小距离为

10、“中华人民共和国个人所得税法”规定,薪金所得不超过800元的部分不必纳税,超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款 按下表分段累计计算:

全月应纳税所得额税率

不超过500元的部分5%

超过500元至2000元部分10%

…………

则每月工资为1900元的工人每月应纳税款元.

三、解答题

11、某超市为了获取最大利润做了一番试验,若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时,每天可销售60件,现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨1元,其销售量就要减少10件,问该商品售价定为多少时才能赚得利润最大?并求出最大利润.

12、一根均匀的轻质弹簧,已知在600N的拉力范围内,其长度与所受拉力成一次函数关系,现测得当它在100N的拉力作用下,长度为0.55 ,在300N拉力作用下长度为0.65,那么弹簧在不受拉力作用时,其自然长度是多少?

13、如图,已知⊙O的半径为R,由直径AB的端点B作圆的切线,从圆周上任一点P引该切线的垂线,垂足为M, 连AP,设AP=

(1)写出AP+2PM关于 的函数关系式 ;

(2)求此函数的最值.

14、在底边BC=60,高AD=40的△ABC中作内接矩形MNPQ.设矩形的面积为S,MN= ,写出S与 之 间的 函数关系式,并求其定义域和值域.

15、某林场现有木材30000 3,如果每年平均增长5%,问大约经过多少年木材可以增加到40000 3?

【素质提高】

16、某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出

一块长方形的地面修建一座公寓楼.问如何设计才能使

公寓楼地面的面积最大,并求出最大的面积.

17、在测量某物理量的过程当中,因仪器和观察

的误差,使得 次测量分别得到 共 个数

据.我们规定所测量的物理量的“最佳近似值 ”是

这样一个量:与其它近似值比较, 与各数据的平方和最小.依此规定,从 推出 的值.

18、某工厂有一个容量为300吨的水塔,每天从早上6点起到晚上10点止供应该厂的生产和生活用水,已知该厂生活用水为每小时10吨,工业用水量W(吨)与时间 (小时,且规定早上6点时 )的函数关系为W=100 .水塔的进水量分为10级,第一级每小时进水10吨,以后每提高一级,每小时进水量就增加10吨.若某天水塔原有水100吨,在开始供水的同时打开进水管,问进水量选择第几级时,既能保证该厂的用水(水塔中水不空),又不会使水溢出?

2.6函数的应用举例

1、D2、C3、D4、B5、D6、 7、 8、[0,40]9、 10、8511、售价定为12元时可获最大利润160元12、0.50 13、(1) ;(2 )当 时 ,当 时 14、 ,定义域为{ |0<<60},值域为{S|0<S≤600}15、6年16、与AE平行的长方形的一边长为 时,公寓楼的地面面积最大为 17、 18、第4级

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