指数函数对数函数高中数学竞赛

指数函数对数函数高中数学竞赛

一、计算：

例1.化简 (1) (2) (3)

解：(1)x的指数是

所以原式=1

(2)x的指数是

=0

所以原式=1

(3)原式=

例2.若，求 解：因为

所以f(x)+f(1-x

)=1

=

例3.已知m,n为正整数，a>0,a1,且

求m,n

解：左边=

原式为loga(m+n)=logamn

得m+n=mn即(m-1)(n-1)=1

因为m,nN，所以

从而m=n=2

二、比较大小

例1.试比较解：令121995与=a>0则

的大小

= 所以>

例2.已知函数f(x)=logax (a>0,a1,xR)若x1,x2R,试比较

++与

的大小

解：f(x1)+f(x2)=loga(x1x2)

∵x1,x2R,∴+ (当且仅当x1=x2时，取“=”号)，

当a>1时，有，∴ 即 (当且仅当x1=x2时，取“=”号)

当a>1时，有，∴ 即 (当且仅当x1=x2时，取“=”号) 例3.已知y1=，y2=，当x为何值时

(1)y1=y2 (2)y1>y2 (3)y1<y2

解：由指数函数y=3x为增函数知

(1)y22

1=y2的.充要条件是：2x-3x+1=x+2x-5 解得x1=2,x2=3

(2)y22

1>y2的充要条件是：2x-3x+1>x+2x-5 解得x<2或x>3

(3)y1<y2的充要条件是：2x2-3x+1<x2+2x-5 解得2<x<3

三、证明

例1.对于自然数a,b,c (abc)和实数x,y,z,w若ax=by=cz=70w (1)

求证：a+b=c

证明：由(1)得： ∴

把(2)代入得：abc=70=257,abc

由于a,b,c均不会等于1，故a=2,b=5,c=7从而a+b=c

例2.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：3<A<4 (2)

证明：由于p,q为素数，其差q-p=29为奇数，∴p=2,q=31

A=6lg2+lg31=lg(2×31)=lg1984

1000<1984<10000 故3<A<4 6

例3.设f(x)=logax (a>0,a1)且 (q为锐角)，求证：1<a<15 a="">1

又f(15)==sinq+cosq =

故a<15 综合得：1<a<15 1

例4.已知0<a<1,x+y=0，求证：

证：因为0<a<1，所以a>0,a>0由平均值不等式